【第22回 数学カフェ】素数定理の証明

1月5日~7日の数学カフェ講演は、この1年でめきめきと頭角を表し、周りの大人たちを圧倒し続けている東京と大阪在住の二人の中学生をお呼びして、以下のようなスケジュールと内容でお送りします。

日時：
1日目（1/5）: (予習会として素数定理の証明) (講演者: ゼータ兄貴/たけのこ赤軍)
2日目（1/6）: (佐藤-Tate予想) (講演者: ゼータ兄貴)
3日目（1/7）: (多重三角関数) (講演者: たけのこ赤軍)

• ゼータ兄貴：twitter https://twitter.com/Riemann_Zeta_F
• たけのこ赤軍：twitter https://twitter.com/691_7758337633

才能あるお二人にいかんなく力を発揮して頂きたく、様々な企画を自由に考えていただき、3日間ぜひ話したい！と提案していただきました。

二人の迸る才能を浴びつつ、よい1年の幕開けを迎えたいと思います。

中高生の方々もぜひご参加くださいませ。（午前中は10時頃から予備的な予習/ 解説を行う予定です。こちらも自由にご参加ください。また追って御連絡いたします。）

• 1日目申し込み：https://connpass.com/event/75469/
• 2日目申し込み：https://connpass.com/event/75475/
• 3日目申し込み：https://connpass.com/event/75476/

概要

概要詳細はこちらを御覧ください：
http://zeta-aniki.hatenablog.com/entry/2017/12/10/220014

今回の講演では、現代の特に数論研究における重要な概念であるゼータ関数や保型形式に着目し、現代整数論を一気に俯瞰することを目標とし、更に講演者のたけのこ氏が独自に考えた多重三角関数の理論をご紹介します。

現代数学、特に数論と呼ばれる分野においては、ゼータ関数という研究対象が、18世紀のEulerによる研究をはじめとして、長い間に渡り、現在も最先端の数学で研究されています。その後、Euler はこの問題を一般化して、リーマンゼータ関数を定めました。一般に、ゼータ関数の極/零点の情報を取り出すことによって、そのゼータ関数にとって「素数的なもの」に関する結果を得ることができます。

1日目は、1896年に Hadamard/de la Valée Poussin によって証明された素数定理を主定理として証明します(!)。「Riemann ゼータ関数の応用例」「保型形式の紹介」「佐藤-Tate予想への動機付け」という重要な項目を完璧に満たしていることに二人で気がつくと証明せずにはいられなくなりました) !ここでは、2日目以降で扱う重要な概念である保型形式が登場します。保型形式は楕円曲線とも関係が深く、具体例として実解析的Eisenstein級数があります。この実解析的Eisenstein級数を使った素数定理の証明を目標とします。

2日目は、主に非可換類体論の発展を支える重要な定理を複数紹介しながら現代数学におけるゼータ関数論/保型形式論の意義漬けについてご紹介し、これらに登場する手法を用いて示された佐藤-Tate予想に関するTaylorらの定理を紹介します。現代の解析/代数的整数論、数論幾何学の技術が駆使されて解決されたこの定理の証明の面白さをぜひ味わってください。

3日目は、リーマンゼータ関数の拡張である多重三角関数の理論についてご紹介します。まずはじめによく知られるリーマンゼータ関数の拡張として”$n$次元モノイドゼータ$\zeta^{M}_{n}(s)$”を定義します注。リーマンゼータ関数はこの式では$\zeta^{M}_{2}(s)$と表され、いわば2次元の場合と考えることができますが、この式を4次元に持ち上げたときにどのような性質が成り立つかをお話します。さらに、このように4次元での再構成を考えるときに、2次元において成り立つ性質がどのように保持されるか調べるのがたけのこ氏の理論です。しかも, ゼータ関数においては通常の分裂だけでなく”同速度で”分裂するような現象が確認されていて, これを詳しく見ていくとなんと数の集合の代数的構造を複素関数の視点から眺めることが可能になります。「自分で作っておいてなんですが非常に美しい理論なので、ぜひお聴きいただけると幸いです。」とのことですので、ぜひ皆様お聞きください。

注：「次元」は簡単にいうと円分体$\mathbb{Q}(\zeta_n)$でいう$n$のことです。$n$次元群ゼータというのが$\mathbb{Q}(\zeta_n)$の整数環$O$に対して$\zeta^{G}_{n}(s)}:=\sum_{0\neq\ell\in O}\ell^(-s)$で定義されて、それを指数関数(簡単に書けるので省略)で割って定義されるのが$n$次元モノイドゼータ$\zeta^{M}_{n}$ですね

講師ご紹介

2017年よりロマンティック数学ナイト登壇し頭角を表している中学生のお二人にご講演をして頂きます。数学が好きでとことん打ち込むお二人を見て、とても刺激を受けています。

• たけのこ赤軍さん
  http://romanticmathnight.org/teacher/たけのこ赤軍
  http://slides.com/they_dont_care_about_us/deck#/
• ゼータ兄貴さん
  http://romanticmathnight.org/teacher/ゼータ兄貴
  http://slides.com/zeta_aniki/deck-13d0bccb-fd50-448b-a6de-16f8a48e159d#/

予習について

1/5の午前中に、今回の会で登場する代数学の基礎や複素解析の基礎について簡単に解説する予定です。こちらもよろしければご参加くださいませ。

タイムテーブル

時間は目安です。

1日目

2日目

三日目

会費について

お茶菓子、お飲み物、講師の方への交通費等に充てさせて頂きます。特に講師のたけのこ赤軍さんは大阪からいらっしゃっています。未成年ということから、宿泊費や旅行中の保険の手配などもさせていただきますので、よろしければカンパをお願い致します。（収支の報告などをお送りさせて頂きます。）

数学カフェについて

2015年3月より東京にて開催。 数学の諸分野の最先端を誰でも学べる場を作りたいと考え、月に1回、およそ6時間の講演会を開催しています。

https://www.facebook.com/mathcafejapan/